---
route: /task/matura-czerwiec-2018-26
title: Zadanie matura-czerwiec-2018-26
source: Matura czerwiec 2018
category: Równania i nierówności
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2018-26

**Źródło:** Matura czerwiec 2018
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Rozwiąż nierówność \(2x(1-x)+1-x\lt 0\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(x\in\left(-\infty;-\frac{1}{2}\right)\cup(1;+\infty)\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej lub iloczynowej.

Aby przystąpić do rozwiązania tej nierówności to musimy zapisać ją w postaci iloczynowej lub ogólnej, tak aby móc obliczyć miejsca zerowe. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej jest proste - wystarczy wymnożyć to co jest w nawiasie i uprościć otrzymane wyrażenia:

$$2x(1-x)+1-x\lt0 \\

2x-2x^2+1-x\lt0 \\

-2x^2+x+1\lt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.

Mając już postać ogólną możemy przystąpić do liczenia delty:

Współczynniki: \(a=-2,\;b=1,\;c=1\)

$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot(-2)\cdot1=1-(-8)=1+8=9 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-3}{2\cdot(-2)}=\frac{-4}{-4}=1 \\

x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+3}{2\cdot(-2)}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.

Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=1\) oraz \(x=-\frac{1}{2}\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i rysujemy parabolę:

Krok 4. Odczytanie rozwiązania.

Szukamy wartości mniejszych od zera, czyli tych które znajdują się pod osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:

$$x\in\left(-\infty;-\frac{1}{2}\right)\cup(1;+\infty)$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-296.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2018