---
route: /task/matura-czerwiec-2018-21
title: Zadanie matura-czerwiec-2018-21
source: Matura czerwiec 2018
category: Stereometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-czerwiec-2018-21

**Źródło:** Matura czerwiec 2018
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Stożek o promieniu podstawy \(r\) i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy

## Odpowiedzi

- **A.** \( \frac{4}{3} \)
- **B.** \( 12 \)
- **C.** \( \sqrt{17} \)
- **D.** \( 4 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Narysujmy sobie stożek, zaznaczając na nim kąt \(α\) którego tangens będziemy musieli wyznaczyć:

To oznacza, że \(tgα=\frac{H}{r}\).

Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie równania.

Z treści zadania wynika, że stożek oraz kula mają jednakowy promień, a ich objętości są sobie równe, zatem:

$$\frac{1}{3}πr^2H=\frac{4}{3}πr^3 \quad\bigg/:πr^2 \\

\frac{1}{3}H=\frac{4}{3}r \quad\bigg/\cdot3 \\

H=4r \\

\frac{H}{r}=4$$

W pierwszym kroku ustaliliśmy, że \(tgα=\frac{H}{r}\), zatem \(tgα=4\).

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-295.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2018