---
route: /task/matura-czerwiec-2018-16
title: Zadanie matura-czerwiec-2018-16
source: Matura czerwiec 2018
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-czerwiec-2018-16

**Źródło:** Matura czerwiec 2018
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(O\) i promieniu \(r\). Na tym okręgu wybrano punkt \(C\), taki, że \(|OB|=|BC|\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(AOC\) jest równe

## Odpowiedzi

- **A.** \( \frac{1}{2}r^2 \)
- **B.** \( \frac{1}{4}r^2 \)
- **C.** \( \frac{\pi}{4}r^2 \)
- **D.** \( \frac{\sqrt{3}}{4}r^2 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Odcinki \(OC\) oraz \(BC\) są na pewno sobie równe, a to dlatego że mają długość promienia okręgu. Skoro więc z założeń zapisanych w treści zadania wynika, że odcinek \(BC\) jest równy odcinkowi \(OB\), to znaczy że trójkąt \(OBC\) jest równoboczny:

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-292.png)

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(AOC\).

Skoro trójkąt \(OBC\) jest równoboczny, to znaczy że wszystkie jego kąty mają miarę \(60°\). Jeden z kątów tego trójkąta (a dokładniej kąt \(COB\)) jest kątem przyległym do kąta \(AOC\). Skoro suma kątów przyległych jest równa \(60°\), to oznacza, że:

$$|\sphericalangle AOC|=180°-60°=120°$$

Krok 3. Obliczenie wartości \(sin120°\).

Do obliczenia pola powierzchni trójkąta \(AOC\) będziemy chcieli skorzystać ze wzoru na pole trójkąta:

$$P=\frac{1}{2}ab\cdot sinα$$

W związku z tym za chwilę będziemy potrzebować wartości \(sin120°\), a tej nie ma zapisanej w tablicach matematycznych. Musimy więc skorzystać ze wzorów redukcyjnych np.:

$$sin(90°+α)=cosα \\

sin120°=sin(90°+30°)=cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Krok 4. Obliczenie pola trójkąta \(AOC\).

Teraz możemy skorzystać ze wzoru na pole trójkąta z sinusem. W naszym przypadku \(a=r\) oraz \(b=r\), zatem:

$$P=\frac{1}{2}ab\cdot sinα \\

P=\frac{1}{2}\cdot r\cdot r\cdot sin120° \\

P=\frac{1}{2}\cdot r\cdot r\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\

P=\frac{\sqrt{3}}{4}r^2$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2018