---
route: /task/matura-czerwiec-2018-01
title: Zadanie matura-czerwiec-2018-01
source: Matura czerwiec 2018
category: Potęgi i pierwiastki
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-czerwiec-2018-01

**Źródło:** Matura czerwiec 2018
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dla \(x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1\) oraz \(y=\sqrt{2}-1\) wartość wyrażenia \(x^2-2xy+y^2\) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( 4 \)
- **B.** \( 1 \)
- **C.** \( \sqrt{2} \)
- **D.** \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Uproszczenie liczby \(x\) oraz całości wyrażenia.

Oczywiście możemy to zadanie rozwiązać w taki sposób, że od razu podstawimy do wyrażenia wartości \(x\) oraz \(y\), ale można też podejść do tego nieco sprytniej i zauważyć, że:

$$x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1 \\

x=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}+1 \\

x=\frac{2\sqrt{2}}{2}+1 \\

x=\sqrt{2}+1$$

Uprościć możemy też nasze wyrażenie, wyraźnie widać że jest to po prostu wzór skróconego mnożenia:

$$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$$

Krok 2. Podstawienie liczb do wyrażenia.

Teraz możemy podstawić iksa i igreka do naszego wyrażenia:

$$(x-y)^2=\left(\sqrt{2}+1-(\sqrt{2}-1)\right)^2=(\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1)^2=(1+1)^2=2^2=4$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2018