---
route: /task/matura-czerwiec-2017-32
title: Zadanie matura-czerwiec-2017-32
source: Matura czerwiec 2017
category: Geometria analityczna
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2017-32

**Źródło:** Matura czerwiec 2017
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Ramię trapezu równoramiennego \(ABCD\) ma długość \(\sqrt{26}\). Przekątne w tym trapezie są prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku \(2:3\). Oblicz pole tego trapezu.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(25\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

W trapezie równoramiennym przekątne są równej długości. Dodatkowo wiemy, że w tym konkretnym przypadku przecinają się pod kątem prostym. Skoro więc punkt przecięcia się przekątnych dzieli je w stosunku \(2:3\), to nasz rysunek będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób:

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-278.png)

Krok 2. Obliczenie wartości \(x\).

Spójrzmy przykładowo na trójkąt \(BCS\). Jest to trójkąt prostokątny, zatem możemy obliczyć wartość niewiadomej \(x\) korzystając z Twierdzenia Pitagorasa.

$$(2x)^2+(3x)^2=(\sqrt{26})^2 \\

4x^2+9x^2=26 \\

13x^2=26 \\

x^2=2 \\

x=\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-\sqrt{2}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości, zatem zostaje nam \(x=\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie pola trapezu.

Jak spojrzymy na nasz rysunek to możemy wyodrębnić w nim dwa duże trójkąty \(ACD\) oraz \(ABC\). Suma pól tych dwóch trójkątów jest równa polu trapezu.

W jednym i drugim trójkącie mamy podstawę równą \(3x+2x=5x\). Skoro \(x=\sqrt{2}\), to już wiemy, że ta podstawa ma długość \(a=5\sqrt{2}\). W jednym i drugim trójkącie znamy też wysokości - w trójkącie \(ACD\) wysokość wynosi ona \(2x\) (czyli \(h=2\sqrt{2}\)), a dla trójkąta \(ABC\) wysokość jest równa \(3x\) (czyli \(h=3\sqrt{2}\)). W związku z tym:

$$P=P_{ACD}+P_{ABC} \\

P=\frac{1}{2}\cdot5\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}+\frac{1}{2}\cdot5\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2} \\

P=\frac{1}{2}\cdot10\cdot2+\frac{1}{2}\cdot15\cdot2 \\

P=10+15 \\

P=25$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2017