---
route: /task/matura-czerwiec-2017-27
title: Zadanie matura-czerwiec-2017-27
source: Matura czerwiec 2017
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2017-27

**Źródło:** Matura czerwiec 2017
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha \) jest ostry i spełniona jest równość \(\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \((\sin \alpha -\cos \alpha )^2\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{1}{4}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Podnosząc do kwadratu sumę \(sinα+cosα\) otrzymamy:

$$sinα+cosα=\frac{\sqrt{7}}{2} \\

(sinα+cosα)^2=\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2 \\

sin^2α+2sinαcosα+cos^2α=\frac{7}{4} \\

sin^2α+cos^2α+2sinαcosα=\frac{7}{4} \\

1+2sinαcosα=\frac{7}{4} \\

2sinαcosα=\frac{3}{4}$$

Teraz wiedząc, że \(2sinαcosα=\frac{3}{4}\) możemy zapisać, że:

$$(sinα-cosα)^2=sin^2α-2sinαcosα+cos^2α= \\

=sin^2α+cos^2α-2sinαcosα=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2017