---
route: /task/matura-czerwiec-2017-26
title: Zadanie matura-czerwiec-2017-26
source: Matura czerwiec 2017
category: Równania i nierówności
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2017-26

**Źródło:** Matura czerwiec 2017
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Rozwiąż nierówność \((x-\frac{1}{2})x\gt 3(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(x\in \left ( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right )\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.

Aby przystąpić do wykonywania obliczeń musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, tak aby po prawej stronie zostało nam tylko zero. Zatem:

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)x\gt3\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right) \\

\left(x-\frac{1}{2}\right)x-3\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\gt0$$

Wbrew pozorom nie jest to postać iloczynowa z której łatwo moglibyśmy wyznaczyć miejsca zerowe, bo w środku całego wyrażenia pojawia nam się odejmowanie. W związku z tym musimy uprościć całe wyrażenie w następujący sposób:

$$x^2-\frac{1}{2}x-\left(3x-\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\gt0 \\

x^2-\frac{1}{2}x-\left(3x^2+x-\frac{3}{2}x-\frac{3}{6}\right)\gt0 \\

x^2-\frac{1}{2}x-3x^2-x+\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\gt0 \\

-2x^2+\frac{1}{2}\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.

Powstała nam nierówność kwadratowa, zatem musimy najpierw obliczyć miejsca zerowe, a zrobimy to tradycyjnie przy pomocy delty:

Współczynniki: \(a=-2,\;b=0,\;c=\frac{1}{2}\)

$$Δ=b^2-4ac=0^2-4\cdot(-2)\cdot\frac{1}{2}=0-(-4)=0+4=4 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{4}=2$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-0-2}{2\cdot(-2)}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2} \\

x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-0+2}{2\cdot(-2)}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.

Współczynnik \(a\) był ujemny, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (z pustymi kropkami, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)).

Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości większe od zera, a więc interesować nas będzie przedział:

$$x\in\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-276.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2017