---
route: /task/matura-czerwiec-2017-21
title: Zadanie matura-czerwiec-2017-21
source: Matura czerwiec 2017
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-czerwiec-2017-21

**Źródło:** Matura czerwiec 2017
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym jest równe \(\frac{1}{3}\pi ^3\). Długość boku tego trójkąta jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( \frac{\pi}{3} \)
- **B.** \( \pi \)
- **C.** \( \sqrt{3}\pi \)
- **D.** \( 3\pi \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-czerwiec-2017-21.png]

Krok 2. Zapisanie zależności między promieniem koła i wysokością trójkąta.

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy \(\frac{2}{3}\) wysokości tego trójkąta. Wiedząc, że wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a\) wyraża się wzorem \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) możemy zapisać, że:

$$R=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\

R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości boku trójkąta.

Korzystając ze wzoru na pole koła możemy zapisać, że:

$$P=πR^2 \\

\frac{1}{3}π^3=π\cdot\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 \quad\bigg/:π \\

\frac{1}{3}π^2=\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 \\

\frac{1}{3}π^2=\frac{a^2\cdot3}{9} \\

\frac{1}{3}π^2=\frac{a^2}{3} \quad\bigg/\cdot3 \\

π^2=a^2 \\

a=π \quad\lor\quad a=-π$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok trójkąta nie może mieć ujemnej długości, zatem \(a=π\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2017