---
route: /task/matura-czerwiec-2017-17
title: Zadanie matura-czerwiec-2017-17
source: Matura czerwiec 2017
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-czerwiec-2017-17

**Źródło:** Matura czerwiec 2017
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Odcinek \(BD\) jest zawarty w dwusiecznej kąta ostrego \(ABC\) trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne \(AC\) i \(BC\) mają długości odpowiednio \(5\) i \(3\). Wówczas miara \(\varphi\) kąta \(DBC\) spełnia warunek

## Odpowiedzi

- **A.** \( 20^\circ \lt \varphi\lt 25^\circ \)
- **B.** \( 25^\circ \lt \varphi\lt 30^\circ \)
- **C.** \( 30^\circ \lt \varphi\lt 35^\circ \)
- **D.** \( 35^\circ \lt \varphi\lt 40^\circ \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.

Spójrzmy na kąt \(ABC\) i załóżmy że ma on miarę \(α\). O tym kącie wiemy, że jest dwukrotnie większy od poszukiwanego kąta \(φ\), czyli:

$$|\sphericalangle ABC|=α=2φ$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ABC\).

Znamy długości przyprostokątnej \(AC\) oraz \(BC\). Możemy więc posłużyć się funkcjami trygonometrycznymi i wyznaczyć miarę kąta \(ABC\), który umownie oznaczyliśmy jako \(α\). Korzystając z tangensa możemy zapisać, że:

$$tgα=\frac{5}{3} \\

tgα\approx1,67$$

Z tablic matematycznych musimy odczytać dla jakiego kąta tangens przyjmuje wartość bliską \(1,67\). Z takich tablic wynika, że dla kąta \(59°\) tangens przyjmuje wartość \(1,6643\) i jest to najlepsze przybliżenie jakie możemy otrzymać, zatem możemy zapisać, że:

$$α\approx59°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(φ\).

Wiemy, że kąt \(α\) jest dwukrotnie większy od kąta \(φ\), zatem:

$$φ\approx59°:2\approx29,5°$$

W związku z tym prawidłową odpowiedzią jest nierówność \(25°\lt φ \lt30°\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2017