---
route: /task/matura-czerwiec-2017-16
title: Zadanie matura-czerwiec-2017-16
source: Matura czerwiec 2017
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-czerwiec-2017-16

**Źródło:** Matura czerwiec 2017
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W okręgu o środku \(O\) dany jest kąt wpisany \(ABC\) o mierze \(20^\circ \) (patrz rysunek). Miara kąta \(CAO\) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( 85^\circ \)
- **B.** \( 70^\circ \)
- **C.** \( 80^\circ \)
- **D.** \( 75^\circ \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(AOC\).

Kąt środkowy \(AOC\) jest oparty na tym samym łuku co kąt wpisany \(ABC\). Z własności kątów środkowych i wpisanych wiemy, że w takiej sytuacji kąt środkowy będzie mieć miarę dwukrotnie większą, zatem:

$$|\sphericalangle AOC|=2\cdot20°=40°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(CAO\).

Spójrzmy na trójkąt \(ACO\). Jest to trójkąt równoramienny, którego ramiona \(AO\) oraz \(CO\) mają długość równą promieniu okręgu. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają jednakową miarę i to właśnie pozwoli nam wyznaczyć miarę kąta \(CAO\). Skoro \(|\sphericalangle AOC|=40°\), a suma kątów w trójkącie wynosi \(180°\), to znaczy że:

$$|\sphericalangle CAO|=(180°-40°):2=140°:2=70°$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2017