---
route: /task/matura-czerwiec-2017-15
title: Zadanie matura-czerwiec-2017-15
source: Matura czerwiec 2017
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-czerwiec-2017-15

**Źródło:** Matura czerwiec 2017
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{5}\). Wówczas \(\sin \alpha \) jest równy

## Odpowiedzi

- **A.** \( \frac{5}{17} \)
- **B.** \( \frac{12}{17} \)
- **C.** \( \frac{5}{13} \)
- **D.** \( \frac{12}{13} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-czerwiec-2017-15.png]

Krok 2. Rozpisanie tangensa jako ilorazu sinusa i cosinusa.

Z trygonometrii wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Korzystając z tej własności możemy zapisać, że:

$$tgα=\frac{12}{5} \\

\frac{sinα}{cosα}=\frac{12}{5}$$

Mnożąc to na krzyż otrzymamy:

$$5sinα=12cosα$$

Krok 3. Obliczenie wartości cosinusa.

Z jedynki trygonometrycznej wynika, że \(sin^2α+cos^2α=1\). W poprzednim kroku udało nam się zapisać, że \(5sinα=12cosα\), czyli że \(cosα=\frac{5}{12}sinα\). W związku z tym:

$$sin^2α+\left(\frac{5}{12}sinα\right)^2+=1 \\

sin^2α+\frac{25}{144}sin^2α=1 \\

\frac{169}{144}sin^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{144}{169} \\

sin^2α=\frac{144}{169} \\

sinα=\frac{12}{13} \quad\lor\quad sinα=-\frac{12}{13}$$

Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo kąt \(α\) jest ostry, a dla kątów ostrych sinus przyjmuje wartości dodatnie, zatem zostaje nam \(sinα=\frac{12}{13}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2017