---
route: /task/matura-czerwiec-2016-32
title: Zadanie matura-czerwiec-2016-32
source: Matura czerwiec 2016
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2016-32

**Źródło:** Matura czerwiec 2016
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest stożek o objętości \(8\pi \), w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy \(3:8\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(2\pi \sqrt{73}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Oprócz naszkicowania sobie bryły wprowadźmy też oznaczenia, które pozwolą nam odnieść się do stosunku wysokości do promienia podstawy. Niech więc wysokość stożka będzie równa \(3x\), a promień podstawy \(8x\). Możemy też zapisać, że \(\frac{H}{r}=\frac{3}{8}\).

Krok 2. Obliczenie wartości \(x\).

Skorzystamy tutaj ze wzoru na objętość stożka.

$$V=\frac{1}{3}πr^2\cdot H \\

8π=\frac{1}{3}π\cdot(8x)^2\cdot3x \\

8π=\frac{1}{3}π\cdot64x^2\cdot3x \\

8=64x^3 \\

x^3=\frac{1}{8} \\

x=\frac{1}{2}$$

To oznacza, że:

$$r=8x=8\cdot\frac{1}{2}=4 \\

H=3x=3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$

Krok 3. Obliczenie długości tworzącej stożka.

Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa:

$$r^2+H^2=l^2 \\

4^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2=l^2 \\

16+\frac{9}{4}=l^2 \\

l^2=\frac{64}{4}+\frac{9}{4} \\

l^2=\frac{73}{4} \\

l=\sqrt{\frac{73}{4}} \\

l=\frac{\sqrt{73}}{2}$$

Krok 4. Obliczenie pole powierzchni bocznej stożka.

$$P_{b}=πrl \\

P_{b}=π\cdot4\cdot\frac{\sqrt{73}}{2} \\

P_{b}=2\sqrt{73}π$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-82.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2016