---
route: /task/matura-czerwiec-2016-31
title: Zadanie matura-czerwiec-2016-31
source: Matura czerwiec 2016
category: Ciągi
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2016-31

**Źródło:** Matura czerwiec 2016
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\), w którym \(a_1+a_2+a_3+a_4=2016\) oraz \(a_5+a_6+a_7+...+a_{12}=2016\). Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu \((a_n)\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(a_1=567\), \(r=-42\), \(a_{14}=21\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

W tym zadaniu posłużymy się wzorem na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego.

$$S_{n}=\frac{2\cdot a_{1}+(n-1)\cdot r}{2}\cdot n$$

Krok 1. Stworzenie odpowiedniego układu równań.

Pod wypisany przed chwilą wzór podstawmy dane z zadania, tworząc z nich układ równań:

\begin{cases}

S_{4}=2016 \\

S_{12}=2016+2016

\end{cases}

Ustalmy skąd wiemy, że \(S_{12}=2016+2016\). Z treści zadania wynika, że suma pierwszych czterech wyrazów jest równa \(2016\) i suma od piątego do dwunastego wyrazu jest także równa \(2016\). Suma wszystkich dwunastu pierwszych wyrazów jest więc równa \(2016+2016=4032\).

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań i wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego, czyli \(r\).

\begin{cases}

2016=\frac{2\cdot a_{1}+(4-1)\cdot r}{2}\cdot4 \\

4032=\frac{2\cdot a_{1}+(12-1)\cdot r}{2}\cdot12

\end{cases}\begin{cases}

2016=\frac{2\cdot a_{1}+3r}{2}\cdot4 \\

4032=\frac{2\cdot a_{1}+11r}{2}\cdot12

\end{cases}\begin{cases}

2016=4\cdot a_{1}+6r \quad\bigg/\cdot(-3) \\

4032=12\cdot a_{1}+66r

\end{cases}\begin{cases}

-6048=-12\cdot a_{1}-18r \\

4032=12\cdot a_{1}+66r

\end{cases}

Dzięki sprytnemu mnożeniu przez \(-3\) pierwszego równania w tym układzie możemy teraz dodać te równania stronami. Oczywiście do rozwiązania tego układu można było też użyć metody podstawiania. Po dodaniu od siebie stron otrzymamy:

$$-2016=48r \\

r=-42$$

Krok 3. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{1}\).

Podstawiając \(r=-42\) do jednego z równań wyznaczymy wartość \(a_{1}\):

$$2016=4\cdot a_{1}+6r \\

2016=4\cdot a_{1}+6\cdot(-42) \\

2016=4\cdot a_{1}-252 \\

2268=4\cdot a_{1} \\

a_{1}=567$$

Krok 4. Obliczenie liczby wszystkich wyrazów dodatnich tego ciągu.

Znając różnicę ciągu arytmetycznego oraz wartość pierwszego wyrazu możemy utworzyć prostą nierówność w której użyjemy wzory na \(n\)-ty wyraz ciągu. Dzięki niej dowiemy się ile wyrazów dodatnich ma ten ciąg, a ostatni wyraz będzie jednocześnie tym najmniejszym (bo skoro różnica wyszła ujemna to jest to ciąg malejący).

$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$

Zatem:

$$a_{1}+(n-1)\cdot r\gt0 \\

567+(n-1)\cdot(-42)\gt0 \\

567+(-42n+42)\gt0 \\

609-42n\gt0 \\

-42n\gt-609 \\

n\lt14\frac{1}{2}$$

(Pamiętaj o zmianie znaku podczas dzielenia przez liczbę ujemną!)

Skoro \(n\) musi być mniejsze od \(14\frac{1}{2}\), to nasz ciąg ma \(14\) dodatnich wyrazów, a ostatnim (i tym samym najmniejszym) dodatnim wyrazem tego malejącego ciągu będzie \(a_{14}\).

Krok 5. Obliczenie wartości czternastego wyrazu ciągu.

Wartość najmniejszego wyrazu tego ciągu jest równa:

$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r \\

a_{14}=567+(14-1)\cdot(-42) \\

a_{14}=567+13\cdot(-42) \\

a_{14}=567-546 \\

a_{14}=21$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2016