---
route: /task/matura-czerwiec-2016-30
title: Zadanie matura-czerwiec-2016-30
source: Matura czerwiec 2016
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2016-30

**Źródło:** Matura czerwiec 2016
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W trójkącie \(ABC\) dane są długości boków \(|AB|=15\) i \(|AC|=12\) oraz \(\cos \alpha =\frac{4}{5}\), gdzie \(\alpha =\sphericalangle BAC\). Na bokach \(AB\) i \(AC\) tego trójkąta obrano punkty odpowiednio \(D\) i \(E\) takie, że \(|BD|=2|AD|\) i \(|AE|=2|CE|\)(zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta \(ADE\) i pole czworokąta \(BCED\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(P_{ADE}=12\), \(P_{BCED}=42\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Zaznaczmy sobie na naszym rysunku zależności między bokami, które zostały wypisane z treści zadania. To ułatwi zrozumienie wszystkich obliczeń długości, które wykonamy sobie w kolejnych krokach.

Krok 2. Obliczenie wartości \(sinα\).

Wartość sinusa kąta \(α\) za chwilę przyda nam się do obliczenia pola trójkąta. W treści zadania mamy podaną wartość cosinusa, zatem do obliczenia sinusa skorzystamy z jedynki trygonometrycznej:

$$sin^2α+cos^2=1 \\

sin^2α+\left(\frac{4}{5}\right)^2=1 \\

sin^2a+\frac{16}{25}=1 \\

sin^2α=\frac{9}{25} \\

sinα=\frac{3}{5} \quad\lor\quad sinα=-\frac{3}{5}$$

Ujemną wartość odrzucamy, bo sinus kąta ostrego jest dodatni.

Krok 3. Obliczenie długości odcinków \(AD\) oraz \(AE\).

Odcinek \(AD\) jest częścią odcinka \(AB\). Z rysunku widzimy, że cała długość odcinka \(AB\) to \(x+2x=3x\) i zgodnie z treścią zadania jest ona równa \(15\). Musimy obliczyć długość \(x\), zatem:

$$3x=15 \\

x=5$$

W ten oto sposób obliczyliśmy długość odcinka \(|AD|=5\).

Podobnie zrobimy w przypadku odcinka \(AE\), który jest częścią odcinka \(AC\).

$$3y=12 \\

y=4$$

Nasz odcinek \(AE\) opisaliśmy sobie jako \(2y\), więc jego długość jest równa \(|AE|=8\).

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni trójkątów \(ABC\) oraz \(ADE\).

Skorzystamy z następującego wzoru:

$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sinα$$

Pole trójkąta \(ABC\):

$$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot |AC|\cdot sinα \\

P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot15\cdot12\cdot\frac{3}{5} \\

P_{ABC}=54$$

Pole trójkąta \(ADE\):

$$P_{ADE}=\frac{1}{2}\cdot |AD|\cdot |AE|\cdot sinα \\

P_{ADE}=\frac{1}{2}\cdot5\cdot8\cdot\frac{3}{5} \\

P_{ADE}=12$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni czworokąta \(BCED\).

Pole powierzchni czworokąta \(BCED\) jest różnicą między polem dużego trójkąta \(ABC\) i małego trójkąta \(ADE\), zatem:

$$P_{BCED}=P_{ABC}-P_{ADE} \\

P_{BCED}=54-12 \\

P_{BCED}=42$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-81.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2016