---
route: /task/matura-czerwiec-2016-28
title: Zadanie matura-czerwiec-2016-28
source: Matura czerwiec 2016
category: Równania i nierówności
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2016-28

**Źródło:** Matura czerwiec 2016
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \[x^4+y^4+x^2+y^2\ge 2(x^3+y^3)\]

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Całość zadania sprowadza się do tego aby wymnożyć wyrazy po prawej stronie, przenieść je na lewą stronę. Następnie kluczem do sukcesu będzie dostrzeżenie, że powstały zapis można przekształcić, korzystając wzorów skróconego mnożenia:

$$x^4+y^4+x^2+y^2\ge2(x^3+y^3) \\

x^4+y^4+x^2+y^2\ge2x^3+2y^3 \\

x^4+y^4+x^2+y^2-2x^3-2y^3\ge0 \\

x^4-2x^3+x^2+y^4-2y^3+y^2\ge0 \\

(x^2-x)^2+(y^2-y)^2\ge0$$

Każda liczba podniesiona do kwadratu będzie dodatnia lub równa zero, a suma dwóch takich liczb da także wartość dodatnią lub równą zero. To oznacza, że nierówność jest prawidłowa, co należało udowodnić.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2016