---
route: /task/matura-czerwiec-2016-27
title: Zadanie matura-czerwiec-2016-27
source: Matura czerwiec 2016
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2016-27

**Źródło:** Matura czerwiec 2016
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dane są proste o równaniach \(y=x+2\) oraz \(y=-3x+b\), które przecinają się w punkcie leżącym na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi \(Ox\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{8}{3}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Jedna z tych prostych jest rosnąca (bo ma dodatni współczynnik kierunkowy \(a=1\)), a druga jest malejąca (bo jej współczynnik kierunkowy \(a=-3\)). Bardzo ważną informacją jest to, że te dwie proste przecinają się w punkcie \(P=(0,2)\). To automatycznie oznacza, że obydwie proste mają współczynnik \(b=2\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\).

Obliczmy sobie miejsca w których te dwie proste przecinają się z osią \(Ox\) (czyli miejsca zerowe). Znajomość tych współrzędnych przyda nam się do wyznaczania długości podstawy trójkąta. Aby obliczyć miejsca zerowe wystarczy przyrównać \(x+2\) oraz \(-3x+2\) do zera, zatem:

I prosta: \(x_{1}+2=0 \Rightarrow x_{1}=-2\)

II prosta: \(-3x_{2}+2=0 \Rightarrow x_{2}=\frac{2}{3}\)

Krok 3. Obliczenie długości podstawy trójkąta.

Za pomocą obliczonych przed chwilą współrzędnych możemy określić długość podstawy trójkąta:

$$a=|x_{2}-x_{1}|=\left|\frac{2}{3}-(-2)\right|=2\frac{2}{3}$$

Krok 4. Obliczenie pola trójkąta.

Wysokość trójkąta znamy, bo pokrywa się ona z osią \(Oy\), a więc bez problemu możemy określić że \(h=2\). Długość podstawy obliczyliśmy sobie przed chwilą i wyszło, że \(a=2\frac{2}{3}\). Zatem pole tego trójkąta jest równe:

$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\

P=\frac{1}{2}\cdot2\frac{2}{3}\cdot2 \\

P=2\frac{2}{3}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-79.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2016