---
route: /task/matura-czerwiec-2016-14
title: Zadanie matura-czerwiec-2016-14
source: Matura czerwiec 2016
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-czerwiec-2016-14

**Źródło:** Matura czerwiec 2016
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(O\) (zobacz rysunek). Miary zaznaczonych kątów \(\alpha \) i \(\beta \) są odpowiednio równe

## Odpowiedzi

- **A.** \( \alpha =36^\circ,\ \beta =72^\circ \)
- **B.** \( \alpha =54^\circ,\ \beta =72^\circ \)
- **C.** \( \alpha =36^\circ,\ \beta =108^\circ \)
- **D.** \( \alpha =72^\circ,\ \beta =72^\circ \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(α\).

Przyglądając się rysunkowi musimy zauważyć, że nasz kąt \(α\) (który jest kątem środkowym) oraz kąt \(DAC\) (który jest kątem wpisanym) są oparte na tym samym łuku. To oznacza, że miara kąta \(α\) będzie dwa razy większa od miary kąta \(DAC\), czyli:

$$α=36°\cdot2=72°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(β\).

Zanim obliczymy miarę kąta \(β\), to przyda nam się jeszcze znajomość kąta \(ADC\). Jego miara jest równa:

$$|\sphericalangle ADC|=180°-36°-36°=108°$$

Skoro nasz czworokąt jest wpisany w okrąg to suma kątów leżących naprzeciwko siebie jest równa \(180°\). Naprzeciw naszego kąta \(β\) leży obliczony przed chwilą kąt \(ADC\), tak więc miara kąta \(β\) jest równa:

$$β=180°-108°=72°$$

Tak na marginesie, to w zasadzie można byłoby rozwiązać to zadanie bez umiejętności obliczania miary kąta \(β\). Wystarczy przyjrzeć się odpowiedziom i dostrzec, że tylko w tej ostatniej mamy kąt o mierze \(α=72°\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2016