---
route: /task/matura-czerwiec-2015-33
title: Zadanie 33 - Matura czerwiec 2015
source: Matura czerwiec 2015
category: Geometria analityczna
points: 4
type: open
---

# Zadanie 33 - Matura czerwiec 2015

**Źródło:** Matura czerwiec 2015
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Ponadto wiadomo, że \(A=(-2,4)\) i \(B=(6,-2)\). Wierzchołek \(C\) należy do osi \(Oy\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(C=\left(0,-\frac{5}{3}\right)\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Współrzędne wierzchołka \(C\).

Punkt \(C\) leży na osi \(Oy\), więc jego pierwsza współrzędna jest równa zero: \(C=(0,y)\).

Krok 2. Długości ramion trójkąta.

$$\begin{aligned}|AC|^2&=(0+2)^2+(y-4)^2\\&=4+(y-4)^2\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}|BC|^2&=(0-6)^2+(y+2)^2\\&=36+(y+2)^2\end{aligned}$$

Krok 3. Rozwiązanie równania \(|AC|=|BC|\).

Równość długości oznacza równość ich kwadratów:

$$4+y^2-8y+16=36+y^2+4y+4$$

$$20-8y=40+4y$$

$$-12y=20,\qquad y=-\frac{5}{3}$$

**Odpowiedź:** \(C=\left(0,-\frac{5}{3}\right)\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2015