---
route: /task/matura-czerwiec-2015-32
title: Zadanie 32 - Matura czerwiec 2015
source: Matura czerwiec 2015
category: Ciągi
points: 4
type: open
---

# Zadanie 32 - Matura czerwiec 2015

**Źródło:** Matura czerwiec 2015
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\), dla \(n\ge 1\), taki, że \(a_5=18\). Wyrazy \(a_1\), \(a_3\) oraz \(a_{13}\) tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu \((a_n)\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(a_n=4n-2\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Wyrazy ciągu w zależności od różnicy \(r\).

Ponieważ \(a_5=18\):

$$\begin{aligned}a_1&=a_5-4r=18-4r\\a_3&=a_5-2r=18-2r\\a_{13}&=a_5+8r=18+8r\end{aligned}$$

Krok 2. Zastosowanie własności ciągu geometrycznego.

Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny, gdy kwadrat środkowej jest równy iloczynowi skrajnych:

$$(18-2r)^2=(18-4r)(18+8r)$$

$$324-72r+4r^2=324+72r-32r^2$$

$$36r^2-144r=0$$

$$36r(r-4)=0$$

Stąd \(r=0\) lub \(r=4\).

Krok 3. Wybór różnicy i wzór na \(n\)-ty wyraz.

Ciąg \((a_n)\) jest rosnący, więc \(r\gt 0\) i \(r=4\). Wtedy \(a_1=18-4\cdot 4=2\) oraz:

$$\begin{aligned}a_n&=a_1+(n-1)r=2+4(n-1)\\&=4n-2\end{aligned}$$

Wyrazy \(a_1=2\), \(a_3=10\), \(a_{13}=50\) rzeczywiście tworzą ciąg geometryczny o ilorazie \(5\).

**Odpowiedź:** \(a_n=4n-2\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2015