---
route: /task/matura-czerwiec-2015-29
title: Zadanie 29 - Matura czerwiec 2015
source: Matura czerwiec 2015
category: Równania i nierówności
points: 2
type: open
---

# Zadanie 29 - Matura czerwiec 2015

**Źródło:** Matura czerwiec 2015
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x, y\) prawdziwa jest nierówność \(3x^2+5y^2-4xy\ge 0\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Przekształcenie lewej strony nierówności.

Składnik \(3x^2\) rozkłada się na \(x^2+2x^2\), a składnik \(5y^2\) na \(4y^2+y^2\), dzięki czemu powstaje kwadrat różnicy:

$$\begin{aligned}&3x^2+5y^2-4xy=\\&=\left(x^2-4xy+4y^2\right)+2x^2+y^2\\&=(x-2y)^2+2x^2+y^2\end{aligned}$$

Krok 2. Uzasadnienie nierówności.

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc \((x-2y)^2\ge 0\), \(2x^2\ge 0\) i \(y^2\ge 0\). Suma liczb nieujemnych jest nieujemna:

$$(x-2y)^2+2x^2+y^2\ge 0$$

**Wniosek:** Dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) zachodzi nierówność \(3x^2+5y^2-4xy\ge 0\), co należało wykazać.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2015