---
route: /task/matura-czerwiec-2015-28
title: Zadanie 28 - Matura czerwiec 2015
source: Matura czerwiec 2015
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie 28 - Matura czerwiec 2015

**Źródło:** Matura czerwiec 2015
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Czworokąt \(ABCD\) wpisano w okrąg tak, że bok \(AB\) jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że \(|AD|^2+|BD|^2=|BC|^2+|AC|^2\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Kąty wpisane oparte na średnicy.

Kąty \(ADB\) i \(ACB\) są kątami wpisanymi w okrąg opartymi na średnicy \(AB\), więc oba są proste. Trójkąty \(ADB\) i \(ACB\) są zatem prostokątne, a odcinek \(AB\) jest w każdym z nich przeciwprostokątną.

Krok 2. Twierdzenie Pitagorasa w obu trójkątach.

$$|AD|^2+|BD|^2=|AB|^2$$

$$|BC|^2+|AC|^2=|AB|^2$$

Krok 3. Porównanie obu równości.

Lewe strony obu równości są równe tej samej liczbie \(|AB|^2\), więc:

$$|AD|^2+|BD|^2=|BC|^2+|AC|^2$$

**Wniosek:** Równość \(|AD|^2+|BD|^2=|BC|^2+|AC|^2\) jest prawdziwa, co należało wykazać.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2015