---
route: /task/matura-czerwiec-2014-34
title: Zadanie 34 - Matura czerwiec 2014
source: Matura czerwiec 2014
category: Geometria analityczna
points: 4
type: open
---

# Zadanie 34 - Matura czerwiec 2014

**Źródło:** Matura czerwiec 2014
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Podstawą trójkąta równoramiennego \(ABC\) jest bok \(AB\), gdzie \(A=(2,1)\) i \(B=(5,2)\). Ramię tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(2x-y-3=0\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(C=(3,3)\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Ramię zawarte w danej prostej.

Punkt \(A=(2,1)\) spełnia równanie prostej, bo \(2\cdot 2-1-3=0\), a punkt \(B=(5,2)\) go nie spełnia, bo \(2\cdot 5-2-3=5\ne 0\). Tą prostą jest więc ramię \(AC\) i wierzchołek \(C\) leży na prostej \(y=2x-3\).

Krok 2. Symetralna podstawy \(AB\).

W trójkącie równoramiennym o podstawie \(AB\) wierzchołek \(C\) leży na symetralnej odcinka \(AB\). Środek odcinka \(AB\) i współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) są równe:

$$\begin{aligned}S&=\left(\frac{2+5}{2},\frac{1+2}{2}\right)\\ &=\left(\frac{7}{2},\frac{3}{2}\right)\\ a_{AB}&=\frac{2-1}{5-2}=\frac{1}{3}\end{aligned}$$

Symetralna jest prostopadła do \(AB\), więc ma współczynnik kierunkowy \(-3\) i przechodzi przez punkt \(S\):

$$\begin{aligned}\frac{3}{2}&=-3\cdot\frac{7}{2}+b\\ b&=12\\ y&=-3x+12\end{aligned}$$

Krok 3. Współrzędne wierzchołka \(C\).

Wierzchołek \(C\) jest punktem wspólnym symetralnej i prostej \(y=2x-3\):

$$\begin{aligned}2x-3&=-3x+12\\ 5x&=15\\ x&=3\\ y&=2\cdot 3-3=3\end{aligned}$$

Sprawdzenie: \(|AC|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\) oraz \(|BC|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\).

**Odpowiedź:** \(C=(3,3)\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2014