---
route: /task/matura-czerwiec-2014-33
title: Zadanie 33 - Matura czerwiec 2014
source: Matura czerwiec 2014
category: Równania i nierówności
points: 5
type: open
---

# Zadanie 33 - Matura czerwiec 2014

**Źródło:** Matura czerwiec 2014
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Trasę etapu wyścigu kolarskiego o długości \(150\) km pan Nowak pokonał w czasie o \(1\) godzinę i \(50\) minut krótszym niż jego kolega z drużyny, pan Kowalski. Średnia wartość prędkości, z jaką pan Nowak jechał na tym etapie, była o \(11\) km/h większa od średniej wartości prędkości pana Kowalskiego na tej trasie. Oblicz średnie wartości prędkości, z jakimi przejechali całą trasę obaj zawodnicy.

**Prawidłowa odpowiedź:** Pan Nowak: \(36\) km/h, pan Kowalski: \(25\) km/h

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Oznaczenia.

Niech \(v\) oznacza średnią prędkość pana Kowalskiego w km/h, a \(t\) jego czas przejazdu w godzinach, czyli \(v\cdot t=150\). Czas \(1\) h \(50\) min to \(\frac{110}{60}=\frac{11}{6}\) h, więc pan Nowak jechał z prędkością \(v+11\) w czasie \(t-\frac{11}{6}\).

Krok 2. Układ równań.

$$\begin{cases} v\cdot t=150\\ (v+11)\left(t-\frac{11}{6}\right)=150\end{cases}$$

Krok 3. Równanie z jedną niewiadomą.

Z pierwszego równania \(t=\frac{150}{v}\). Po wstawieniu do drugiego równania:

$$(v+11)\left(\frac{150}{v}-\frac{11}{6}\right)=150$$

Po wymnożeniu nawiasów:

$$\begin{aligned}150-\frac{11}{6}v+\frac{1650}{v}-\frac{121}{6}&=150\\ -\frac{11}{6}v+\frac{1650}{v}-\frac{121}{6}&=0\end{aligned}$$

Pomnożenie obu stron przez \(-\frac{6v}{11}\) (przy \(v\gt 0\)) daje równanie kwadratowe:

$$v^2+11v-900=0$$

Krok 4. Rozwiązanie równania kwadratowego.

$$\begin{aligned}\Delta&=11^2+4\cdot 900\\ &=121+3600=3721\\ \sqrt{\Delta}&=61\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}v_1&=\frac{-11-61}{2}=-36\\ v_2&=\frac{-11+61}{2}=25\end{aligned}$$

Prędkość jest dodatnia, więc \(v=25\) km/h.

Krok 5. Prędkości obu kolarzy.

Pan Kowalski jechał ze średnią prędkością \(25\) km/h, a pan Nowak z prędkością \(25+11=36\) km/h. Sprawdzenie: \(\frac{150}{25}=6\) h oraz \(\frac{150}{36}=4\frac{1}{6}\) h, a różnica tych czasów to \(1\frac{5}{6}\) h, czyli \(1\) h \(50\) min.

**Odpowiedź:** pan Nowak jechał ze średnią prędkością \(36\) km/h, a pan Kowalski ze średnią prędkością \(25\) km/h.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2014