---
route: /task/matura-czerwiec-2014-32
title: Zadanie 32 - Matura czerwiec 2014
source: Matura czerwiec 2014
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie 32 - Matura czerwiec 2014

**Źródło:** Matura czerwiec 2014
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDS\) (zobacz rysunek) przekątna \(AC\) podstawy ma długość \(4\sqrt{2}\). Kąt \(ASC\) między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa ma miarę \(60^\circ\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(V=\frac{32\sqrt{6}}{3}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Krawędź i pole podstawy.

Podstawą jest kwadrat o boku \(a\), którego przekątna ma długość \(a\sqrt{2}\):

$$\begin{aligned}a\sqrt{2}&=4\sqrt{2}\\ a&=4\\ P_p&=a^2=16\end{aligned}$$

Krok 2. Trójkąt \(ASC\).

Krawędzie boczne ostrosłupa prawidłowego mają równe długości, więc trójkąt \(ASC\) jest równoramienny i \(|SA|=|SC|\). Kąt przy wierzchołku \(S\) ma miarę \(60^\circ\), więc każdy z kątów przy podstawie \(AC\) ma miarę \(\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ\). Trójkąt \(ASC\) jest zatem równoboczny o boku \(4\sqrt{2}\).

Krok 3. Wysokość ostrosłupa.

Spodek \(O\) wysokości ostrosłupa jest środkiem przekątnej \(AC\), więc wysokość \(SO\) ostrosłupa jest wysokością trójkąta równobocznego \(ASC\):

$$H=|SO|=\frac{4\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{6}$$

Krok 4. Objętość ostrosłupa.

$$V=\frac{1}{3}P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 16\cdot 2\sqrt{6}=\frac{32\sqrt{6}}{3}$$

**Odpowiedź:** \(V=\frac{32\sqrt{6}}{3}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2014