---
route: /task/matura-czerwiec-2014-31
title: Zadanie 31 - Matura czerwiec 2014
source: Matura czerwiec 2014
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie 31 - Matura czerwiec 2014

**Źródło:** Matura czerwiec 2014
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt \(ABC\). Odcinek \(CD\) jest wysokością tego trójkąta, punkt \(E\) jest środkiem boku \(BC\) (tak jak na rysunku) i \(|CD|=|DE|\). Udowodnij, że trójkąt \(CDE\) jest równoboczny.

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Trójkąt prostokątny \(CDB\).

Odcinek \(CD\) jest wysokością trójkąta \(ABC\), więc kąt \(CDB\) jest prosty, a bok \(BC\) jest przeciwprostokątną trójkąta \(CDB\).

Krok 2. Środek przeciwprostokątnej.

Środek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym. Punkt \(E\) jest środkiem boku \(BC\), więc jest jednakowo oddalony od wszystkich wierzchołków trójkąta \(CDB\):

$$|DE|=|CE|=|BE|$$

Krok 3. Równość boków trójkąta \(CDE\).

Z założenia \(|CD|=|DE|\), a z poprzedniego kroku \(|DE|=|CE|\). Zatem

$$|CD|=|DE|=|CE|$$

**Wniosek:** Wszystkie boki trójkąta \(CDE\) mają równą długość, więc trójkąt \(CDE\) jest równoboczny, co należało wykazać.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2014