---
route: /task/matura-czerwiec-2014-28
title: Zadanie 28 - Matura czerwiec 2014
source: Matura czerwiec 2014
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie 28 - Matura czerwiec 2014

**Źródło:** Matura czerwiec 2014
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha}\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\sqrt{3}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sprowadzenie do wspólnego mianownika.

$$\begin{aligned}&\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha}\\ &=\frac{\sin\alpha(1+\sin\alpha)+\cos^2\alpha}{\cos\alpha(1+\sin\alpha)}\\ &=\frac{\sin\alpha+\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\cos\alpha(1+\sin\alpha)}\end{aligned}$$

Krok 2. Jedynka trygonometryczna.

Ponieważ \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), licznik jest równy \(1+\sin\alpha\) i skraca się z czynnikiem mianownika (dla kąta ostrego \(1+\sin\alpha\gt 0\)):

$$\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha(1+\sin\alpha)}=\frac{1}{\cos\alpha}$$

Krok 3. Wstawienie wartości cosinusa.

$$\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$$

**Odpowiedź:** \(\sqrt{3}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2014