---
route: /task/matura-czerwiec-2014-27
title: Zadanie 27 - Matura czerwiec 2014
source: Matura czerwiec 2014
category: Wyrażenia algebraiczne
points: 2
type: open
---

# Zadanie 27 - Matura czerwiec 2014

**Źródło:** Matura czerwiec 2014
**Kategoria:** Wyrażenia algebraiczne
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) prawdziwa jest nierówność \[\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2}.\]

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Przekształcenie nierówności.

Lewa strona jest równa \(\frac{(a+b)^2}{4}\). Po pomnożeniu obu stron przez \(4\) otrzymuje się nierówność równoważną:

$$(a+b)^2\le 2\left(a^2+b^2\right)$$

Krok 2. Uporządkowanie wyrazów.

$$\begin{aligned}a^2+2ab+b^2&\le 2a^2+2b^2\\ 0&\le a^2-2ab+b^2\end{aligned}$$

Krok 3. Wzór skróconego mnożenia.

Prawa strona ostatniej nierówności jest kwadratem różnicy:

$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\ge 0$$

Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc ostatnia nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(a\) i \(b\). Wszystkie przekształcenia były równoważne, zatem prawdziwa jest też nierówność wyjściowa.

**Wniosek:** Dla każdych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) zachodzi \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2}\), co należało wykazać.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/wyrazenia-algebraiczne
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2014