---
route: /task/matura-czerwiec-2013-32
title: Zadanie matura-czerwiec-2013-32
source: Matura czerwiec 2013
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2013-32

**Źródło:** Matura czerwiec 2013
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Podstawą graniastosłupa \(ABCDEFGH\) jest prostokąt \(ABCD\) (zobacz rysunek), którego krótszy bok ma długość \(3\). Przekątna prostokąta \(ABCD\) tworzy z jego dłuższym bokiem kąt \(30^\circ\). Przekątna \(HB\) graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt \(60^\circ\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(V=162\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Zaznaczmy sobie na rysunku kąty \(30°\) i \(60°\) oraz odpowiednie długości boków omówione w treści zadania:

Wbrew pozorom już podczas zaznaczania odpowiednich długości można było popełnić spory błąd. Skąd wiemy, że to akurat boki \(AD\) oraz analogicznie \(BC\) są tymi krótszymi i akurat one mają długość \(3\)? Treść zadania nie sugeruje nam tego wprost, ale wynika to chociażby z własności trójkątów \(30°\), \(60°\), \(90°\), a takim jest trójkąt \(ABD\). W takich trójkątach dłuższą przyprostokątną jest ten bok, który znajduje się przy kącie \(30°\) i stąd też wiemy, że dłuższymi krawędziami są \(AB\) oraz analogicznie \(CD\), a krótszymi są \(AD\) oraz \(BC\).

Do obliczenia objętości będziemy potrzebowali znać długości boków prostokąta oraz wysokość całego graniastosłupa, zatem wyznaczmy po kolei każdą z wartości.

Krok 2. Obliczenie miary dłuższego boku prostokąta.

Do obliczenia długości, którą oznaczyliśmy sobie jako \(a\) skorzystamy z trójkąta \(ABD\). Użyjemy tutaj albo własności trójkąta \(30°, 60°, 90°\), albo funkcji tangensa:

$$tg30°=\frac{3}{a} \\

\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3}{a}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:

$$\sqrt{3}a=9 \\

a=\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{9\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej podstawy.

Ponownie spoglądamy na trójkąt \(ABD\). Do obliczenia długości przekątnej \(DB\) skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa i z miary boku prostokąta, którą obliczyliśmy przed chwilą:

$$3^2+(3\sqrt{3})^2=|DB|^2 \\

9+9\cdot3=|DB|^2 \\

9+27=|DB|^2 \\

|DB|^2=36 \\

|DB|=6$$

Krok 4. Obliczenie wysokości graniastosłupa.

Tym razem interesuje nas trójkąt \(DBH\). Odcinek \(DH\), który oznaczyliśmy sobie jako \(H\) wyliczymy z funkcji tangensa (właśnie po to liczyliśmy przed chwilą długość przekątnej \(DB\)):

$$tg60°=\frac{H}{6} \\

\sqrt{3}=\frac{H}{6} \\

H=6\sqrt{3}$$

Krok 5. Obliczenie objętości graniastosłupa.

Znamy wszystkie potrzebne miary, więc możemy przejść do obliczeń objętości:

$$V=P_{p}\cdot H \\

V=3\cdot3\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3} \\

V=9\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3} \\

V=54\cdot3 \\

V=162$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-147.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2013