---
route: /task/matura-czerwiec-2013-30
title: Zadanie matura-czerwiec-2013-30
source: Matura czerwiec 2013
category: Liczby rzeczywiste
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2013-30

**Źródło:** Matura czerwiec 2013
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że liczba \((1+2013^2)(1+2013^4)\) jest dzielnikiem liczby: \(1+2013+2013^2+2013^3+2013^4+2013^5+2013^6+2013^7\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Najprościej jest to zadanie udowodnić wyłączając wartość \((1+2013)\). Całość obliczeń wygląda następująco:

$$1+2013+2013^2+2013^3+2013^4+2013^5+2013^6+2013^7= \\

=1\cdot(1+2013)+2013^2\cdot(1+2013)+2013^4\cdot(1+2013)+2013^6\cdot(1+2013)= \\

=(1+2013^2+2013^4+2013^6)\cdot(1+2013)= \\

(1+2013^2+2013^4+2013^6)\cdot2014$$

Teraz, wystarczy zauważyć, że:

$$(1+2013^2)(1+2013^4)=1+2013^2+2013^4+2013^6$$

To oznacza, że nasza liczba jest jak najbardziej podzielna przez \((1+2013^2)(1+2013^4)\), a wynikiem tego dzielenia będzie \(2014\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2013