---
route: /task/matura-czerwiec-2013-28
title: Zadanie matura-czerwiec-2013-28
source: Matura czerwiec 2013
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2013-28

**Źródło:** Matura czerwiec 2013
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos\alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}\) . Oblicz wartość wyrażenia \(2+\sin^3\!\alpha +\sin\alpha \cdot \cos^2\!\alpha\) .

**Prawidłowa odpowiedź:** \(2\frac{3}{4}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie wartości sinusa.

Skorzystamy tutaj z jedynki trygonometrycznej:

$$sin^2α+cos^2α=1 \\

sin^2α+\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2=1 \\

sin^2α+\frac{7}{16}=1 \\

sin^2α=\frac{9}{16} \\

sinα=\sqrt{\frac{9}{16}} \quad\lor\quad sinα=\sqrt{\frac{9}{16}} \\

sinα=\frac{3}{4} \quad\lor\quad sinα=-\frac{3}{4}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo dla kątów ostrych sinus przyjmuje wartości dodatnie. Zostaje nam więc \(sinα=\frac{3}{4}\).

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia.

Znając wartości sinusa i cosinusa możemy oczywiście od razu przystąpić do podstawiania tych wartości do naszego wyrażenia. Jednak zamiast wykonywania tych długich obliczeń moglibyśmy się pokusić o uproszczenie całego wyrażenia, wyłączając przed nawias wartość \(sinα\). Nie jest to rzecz obowiązkowa, ale jak się za chwilę okaże - znacznie upraszcza to wszystkie rachunki.

$$2+sin^3α+sinα\cdot cos^2α= \\

=2+sinα\cdot(sin^2α+cos^2α)= \\

=2+sinα\cdot1=2+sinα$$

Znając wartość sinusa możemy już bez przeszkód podać wynik tego zadania:

$$2+sinα=2+\frac{3}{4}=2\frac{3}{4}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2013