---
route: /task/matura-czerwiec-2012-32
title: Zadanie matura-czerwiec-2012-32
source: Matura czerwiec 2012
category: Geometria analityczna
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2012-32

**Źródło:** Matura czerwiec 2012
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Punkty \(A = (2,11), B = (8, 23), C = (6,14)\) są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka \(C\) przecina prostą \(AB\) w punkcie \(D\). Oblicz współrzędne punktu \(D\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(D=(4,15)\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Naszkicujmy sobie układ współrzędnych i zaznaczmy w nim współrzędne punktów z treści zadania.

Najlepszą metodą na znalezienie współrzędnych punktu \(D\) będzie chyba wyznaczenie najpierw równania prostej \(AB\), później wyznaczenie równania prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt \(C\), no i na sam koniec rozwiązanie układu równań złożonego z tych dwóch prostych.

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).

Do wyznaczenia równania prostej przechodzącej przez punkt \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy posłużyć się prostym wzorem:

$$(y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0$$

Podstawiając współrzędne punktów \(A=(2,11)\) oraz \(B=(8,23)\) otrzymamy:

$$(y-11)(8-2)-(23-11)(x-2)=0 \\

(y-11)\cdot6-12\cdot(x-2)=0 \\

6y-66-12x+24=0 \\

6y-12x-42=0 \\

6y=12x+42 \quad\bigg/:6 \\

y=2x+7$$

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej prostopadłej do \(AB\), przechodzącej przez punkt \(C\).

Szukamy prostej prostopadłej w postaci \(y=ax+b\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro więc pierwsza prosta ma \(a=2\), to druga musi mieć:

$$a\cdot2=-1 \\

a=-\frac{1}{2}$$

Wiemy już, że nasza prosta prostopadła przyjmuje postać \(y=-\frac{1}{2}x+b\). Aby wyznaczyć brakujący współczynnik \(b\) wystarczy podstawić współrzędne punktu \(C=(6;14)\), który przez tą prostą przechodzi. Otrzymamy wtedy:

$$y=-\frac{1}{2}x+b \\

14=-\frac{1}{2}\cdot6+b \\

14=-3+b \\

b=17$$

To oznacza, że prosta prostopadła ma wzór \(y=-\frac{1}{2}x+17\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).

Z interpretacji geometrycznej układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań składającego się z dwóch prostych są współrzędne punktu przecięcia się tych prostych. W naszym przypadku będą to poszukiwane współrzędne punktu \(D\), zatem:

\begin{cases}

y=2x+7 \\

y=-\frac{1}{2}x+17

\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, możemy podstawić wartość \(y=2x+7\) z pierwszego równania do drugiego, otrzymując:

$$2x+7=-\frac{1}{2}x+17 \quad\bigg/\cdot2 \\

4x+14=-x+34 \\

5x=20 \\

x=4$$

Podstawiając wartość \(x=4\) do jednego z równań obliczymy drugą współrzędną:

$$y=2\cdot4+7 \\

y=8+7 \\

y=15$$

Współrzędne poszukiwanego punktu to w takim razie \(D=(4;15)\).

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-142.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2012