---
route: /task/matura-czerwiec-2012-29
title: Zadanie matura-czerwiec-2012-29
source: Matura czerwiec 2012
category: Liczby rzeczywiste
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2012-29

**Źródło:** Matura czerwiec 2012
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(2\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

\(n\) - pierwsza liczba

\(n+1\) - druga liczba

\(n+2\) - trzecia liczba

Każdą z liczb podniesiemy teraz do kwadratu (zgodnie z treścią zadania) i spróbujemy całość doprowadzić do takiej sytuacji, by wyłączyć trójkę lub jej wielokrotność przed nawias, zatem:

$$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2= \\

=n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4= \\

=3n^2+6n+5= \\

=3(n^2+2n+1)+2$$

Doprowadzenie równania do takiej postaci kończy nasze dowodzenie, bowiem dwójka stojąca na samym końcu jest właśnie resztą z dzielenia.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2012