---
route: /task/matura-czerwiec-2012-28
title: Zadanie matura-czerwiec-2012-28
source: Matura czerwiec 2012
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-czerwiec-2012-28

**Źródło:** Matura czerwiec 2012
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Uzasadnij, że jeżeli \(\alpha\) jest kątem ostrym, to \(\sin^4\alpha + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha + \cos^4\alpha\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Najprościej będzie przeprowadzić dowód przekształcając lewą stronę tego równania przy użyciu jedynki trygonometrycznej.

$$sin^2α+cos^2α=1 \Rightarrow sin^2α=1-cos^2α$$

$$L=sin^4α+cos^2α \\

L=(sin^2α)^2+cos^2α \\

L=(1-cos^2α)^2+cos^2α \\

L=1-2\cdot1\cdot cos^2α+(cos^2α)^2+cos^2α \\

L=1-2cos^2α+cos^4α+cos^2α \\

L=\color{orange}{1-cos^2α}+cos^4α \\

L=\color{orange}{sin^2α}+cos^4α$$

Udało nam się doprowadzić lewą stronę równania do postaci \(sin^2α+cos^4α\), czyli dokładnie takiej postaci jaka znajduje się po prawej stronie równania z treści zadania. To oznacza, że dowodzenie możemy uznać za zakończone.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2012