---
route: /task/matura-czerwiec-2012-21
title: Zadanie matura-czerwiec-2012-21
source: Matura czerwiec 2012
category: Potęgi i pierwiastki
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-czerwiec-2012-21

**Źródło:** Matura czerwiec 2012
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Równość \((a+2\sqrt{2})^2=a^2+28\sqrt{2}+8\) zachodzi dla

## Odpowiedzi

- **A.** \( a=14 \)
- **B.** \( a=7\sqrt{2} \)
- **C.** \( a=7 \)
- **D.** \( a=2\sqrt{2} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

To zadanie można rozwiązać dość szybko korzystając z następującego wzoru skróconego mnożenia:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Patrząc na ten wzór i na prawą część naszego równania z treści zadania możemy zauważyć, że środkowy wyraz, czyli \(28\sqrt{2}\) to wartość \(2ab\) z naszego wzoru skróconego mnożenia, gdzie \(b=2\sqrt{2}\), bo \(b^2=8\). To z kolei bardzo szybko pozwoli nam odnaleźć prawidłową odpowiedź:

$$2ab=28\sqrt{2} \\

ab=14\sqrt{2} \\

a\cdot2\sqrt{2}=14\sqrt{2} \\

a=7$$

Jeśli jednak tego nie dostrzegliśmy (a nie było to zbyt łatwe do dostrzeżenia), to albo musimy podstawiać do równania po kolei każdą z odpowiedzi, albo po prostu rozwiązać równanie w takiej postaci jaka jest przedstawiona w zadaniu. Jest to rozwiązanie nieco bardziej czasochłonne, ale także doprowadzi nas do poprawnego wyniku:

$$\require{cancel}

(a+2\sqrt{2})^2=a^2+28\sqrt{2}+8 \\

a^2+2\cdot a\cdot2\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^2=a^2+28\sqrt{2}+8 \\

\cancel{a^2}+4\sqrt{2}a+\cancel{8}=\cancel{a^2}+28\sqrt{2}+\cancel{8} \\

4\sqrt{2}a=28\sqrt{2} \quad\bigg/:4\sqrt{2} \\

a=\frac{28\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} \\

a=7$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2012