---
route: /task/matura-czerwiec-2011-33
title: Zadanie 33 - Matura czerwiec 2011
source: Matura czerwiec 2011
category: Geometria analityczna
points: 4
type: open
---

# Zadanie 33 - Matura czerwiec 2011

**Źródło:** Matura czerwiec 2011
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt \(A=(1,8)\) i stycznego do obu osi układu współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.

**Prawidłowa odpowiedź:** \((x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25\) lub \((x-13)^{2}+(y-13)^{2}=169\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Położenie środka okręgu.

Okrąg styczny do obu osi układu współrzędnych leży w całości w jednej ćwiartce. Punkt \(A=(1,8)\) leży w pierwszej ćwiartce, więc środek okręgu też. Odległość środka od każdej z osi jest równa promieniowi \(r\), zatem środek to \(S=(r,r)\), gdzie \(r\gt 0\), a równanie okręgu ma postać:

$$(x-r)^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}$$

Krok 2. Warunek przejścia okręgu przez punkt \(A\).

Po podstawieniu współrzędnych punktu \(A=(1,8)\):

$$(1-r)^{2}+(8-r)^{2}=r^{2}$$

Po rozwinięciu kwadratów \((1-r)^{2}=1-2r+r^{2}\) oraz \((8-r)^{2}=64-16r+r^{2}\) i redukcji wyrazów podobnych:

$$\begin{aligned}2r^{2}-18r+65&=r^{2}\\ r^{2}-18r+65&=0\end{aligned}$$

Krok 3. Rozwiązanie równania kwadratowego.

$$\begin{aligned}\Delta&=(-18)^{2}-4\cdot 1\cdot 65\\ &=324-260=64\\ \sqrt{\Delta}&=8\end{aligned}$$

$$r_1=\frac{18-8}{2}=5,\qquad r_2=\frac{18+8}{2}=13$$

Krok 4. Równania okręgów.

Oba promienie są dodatnie, więc warunki zadania spełniają dwa okręgi:

$$\begin{aligned}&(x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25\\ &(x-13)^{2}+(y-13)^{2}=169\end{aligned}$$

**Odpowiedź:** \((x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25\) lub \((x-13)^{2}+(y-13)^{2}=169\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2011