---
route: /task/matura-czerwiec-2011-32
title: Zadanie 32 - Matura czerwiec 2011
source: Matura czerwiec 2011
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie 32 - Matura czerwiec 2011

**Źródło:** Matura czerwiec 2011
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest romb \(ABCD\) o boku długości \(4\). Kąt \(ABC\) rombu ma miarę \(120^\circ\), \(|AS|=|CS|=10\) i \(|BS|=|DS|\). Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi \(BS\) do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\sin\beta=\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{23}}=\frac{\sqrt{506}}{23}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Spodek wysokości ostrosłupa.

Niech \(O\) będzie spodkiem wysokości \(SO\). Z równości \(|AS|=|CS|\) i twierdzenia Pitagorasa w trójkątach \(AOS\) i \(COS\) wynika \(|AO|=|CO|\), więc \(O\) leży na symetralnej odcinka \(AC\), czyli na przekątnej \(BD\). Tak samo z \(|BS|=|DS|\) punkt \(O\) leży na przekątnej \(AC\). Spodek wysokości jest więc punktem przecięcia przekątnych rombu.

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/figures/matura-czerwiec-2011-32-solution-0-e60d2953.png)

Krok 2. Długości przekątnych rombu.

Kąt \(ABC\) ma miarę \(120^\circ\), więc kąt \(BCD\) ma miarę \(60^\circ\) i trójkąt \(BCD\) jest równoboczny. Stąd \(|BD|=4\), a \(|OC|\) jest wysokością trójkąta równobocznego o boku \(4\):

$$\begin{aligned}|BD|&=4\\ |AC|&=2|OC|=2\cdot\frac{4\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\end{aligned}$$

Krok 3. Wysokość ostrosłupa.

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(AOS\), gdzie \(|AO|=2\sqrt{3}\):

$$\begin{aligned}h^{2}&=|AS|^{2}-|AO|^{2}\\ &=10^{2}-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}\\ &=100-12=88\\ h&=2\sqrt{22}\end{aligned}$$

Krok 4. Długość krawędzi \(BS\).

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(BOS\), gdzie \(|BO|=2\):

$$\begin{aligned}|BS|^{2}&=h^{2}+|BO|^{2}\\ &=88+4=92\\ |BS|&=2\sqrt{23}\end{aligned}$$

Krok 5. Sinus kąta nachylenia krawędzi \(BS\) do podstawy.

Kąt \(\beta\) nachylenia krawędzi \(BS\) do płaszczyzny podstawy to kąt \(SBO\) w trójkącie prostokątnym \(BOS\):

$$\begin{aligned}\sin\beta&=\frac{h}{|BS|}=\frac{2\sqrt{22}}{2\sqrt{23}}\\ &=\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{23}}=\frac{\sqrt{506}}{23}\approx 0{,}978\end{aligned}$$

**Odpowiedź:** \(\sin\beta=\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{23}}=\frac{\sqrt{506}}{23}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2011