---
route: /task/matura-czerwiec-2011-30
title: Zadanie 30 - Matura czerwiec 2011
source: Matura czerwiec 2011
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie 30 - Matura czerwiec 2011

**Źródło:** Matura czerwiec 2011
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Liczby \(27\), \(x\), \(3\) są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz ósmy wyraz tego ciągu.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(a_8=\frac{1}{81}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Iloraz ciągu.

Trzeci wyraz ciągu geometrycznego to \(a_3=a_1q^{2}\):

$$\begin{aligned}3&=27q^{2}\\ q^{2}&=\frac{1}{9}\end{aligned}$$

$$q=\frac{1}{3}\quad\text{lub}\quad q=-\frac{1}{3}$$

Krok 2. Wybór ilorazu.

Dla \(q=-\frac{1}{3}\) drugi wyraz byłby ujemny (\(x=-9\)) i ciąg nie byłby malejący. Ciąg geometryczny o dodatnim pierwszym wyrazie jest malejący, gdy \(0\lt q\lt 1\), więc \(q=\frac{1}{3}\) i \(x=9\).

Krok 3. Ósmy wyraz ciągu.

$$\begin{aligned}a_8&=a_1q^{7}=27\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{7}\\ &=\frac{3^{3}}{3^{7}}=\frac{1}{3^{4}}=\frac{1}{81}\end{aligned}$$

**Odpowiedź:** \(a_8=\frac{1}{81}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2011