---
route: /task/matura-czerwiec-2011-27
title: Zadanie 27 - Matura czerwiec 2011
source: Matura czerwiec 2011
category: Liczby rzeczywiste
points: 2
type: open
---

# Zadanie 27 - Matura czerwiec 2011

**Źródło:** Matura czerwiec 2011
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej \(n\) liczba \(3^{n+2}-2^{n+2}+3^{n}-2^{n}\) jest wielokrotnością liczby \(10\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Rozpisanie potęg o wykładniku \(n+2\).

$$\begin{aligned}&3^{n+2}-2^{n+2}+3^{n}-2^{n}\\ &=9\cdot 3^{n}-4\cdot 2^{n}+3^{n}-2^{n}\end{aligned}$$

Krok 2. Pogrupowanie wyrazów.

$$\begin{aligned}&9\cdot 3^{n}+3^{n}-\left(4\cdot 2^{n}+2^{n}\right)\\ &=10\cdot 3^{n}-5\cdot 2^{n}\end{aligned}$$

Krok 3. Wyłączenie czynnika \(10\).

Dla dodatniej liczby całkowitej \(n\) zachodzi \(2^{n}=2\cdot 2^{n-1}\), a \(2^{n-1}\) jest liczbą całkowitą, więc:

$$\begin{aligned}&10\cdot 3^{n}-5\cdot 2\cdot 2^{n-1}\\ &=10\cdot 3^{n}-10\cdot 2^{n-1}\\ &=10\left(3^{n}-2^{n-1}\right)\end{aligned}$$

Liczba \(k=3^{n}-2^{n-1}\) jest całkowita.

**Wniosek:** dana liczba jest równa \(10k\) dla całkowitego \(k\), więc jest wielokrotnością liczby \(10\), co należało uzasadnić.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2011