---
route: /task/matura-czerwiec-2011-25
title: Zadanie 25 - Matura czerwiec 2011
source: Matura czerwiec 2011
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie 25 - Matura czerwiec 2011

**Źródło:** Matura czerwiec 2011
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Trójkąt \(ABC\) przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty \(B\), \(C\), \(N\) są współliniowe. Na boku \(AC\) wybrano punkt \(M\) tak, że \(|AM|=|CN|\). Wykaż, że \(|BM|=|MN|\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Odcinek pomocniczy.

Niech \(a\) oznacza bok trójkąta równobocznego \(ABC\). Przez punkt \(M\) prowadzi się odcinek \(MD\) równoległy do boku \(AB\), gdzie punkt \(D\) leży na boku \(BC\).

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/figures/matura-czerwiec-2011-25-solution-0-eefa81a8.png)

Krok 2. Trójkąt \(MDC\) jest równoboczny.

Odcinek \(MD\) jest równoległy do \(AB\), więc kąty \(CMD\) i \(CDM\) są równe odpowiednio kątom \(CAB\) i \(CBA\), czyli mają po \(60^\circ\). Trójkąt \(MDC\) ma trzy kąty po \(60^\circ\), zatem \(|MD|=|DC|=|CM|\).

Krok 3. Równość odcinków \(BD\) i \(CN\).

$$\begin{aligned}|BD|&=|BC|-|DC|\\ &=a-|CM|=|AC|-|CM|\\ &=|AM|=|CN|\end{aligned}$$

Krok 4. Równość kątów przy wierzchołkach \(D\) i \(C\).

$$\begin{aligned}|\sphericalangle BDM|&=180^\circ-|\sphericalangle CDM|\\ &=120^\circ\\ |\sphericalangle MCN|&=180^\circ-|\sphericalangle ACB|\\ &=120^\circ\end{aligned}$$

Krok 5. Przystawanie trójkątów \(BDM\) i \(MCN\).

Trójkąty \(BDM\) i \(MCN\) mają równe boki \(|BD|=|CN|\) i \(|DM|=|CM|\) oraz równe kąty zawarte między tymi bokami (po \(120^\circ\)). Na mocy cechy bok-kąt-bok są przystające, więc ich trzecie boki też są równe: \(|BM|=|MN|\).

**Wniosek:** \(|BM|=|MN|\), co należało wykazać.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2011