---
route: /task/cke-pp-treningowe-97
title: Zadanie cke-pp-treningowe-97
source: CKE PP treningowe
category: Statystyka
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-pp-treningowe-97

**Źródło:** CKE PP treningowe
**Kategoria:** Statystyka
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Z miejscowości \(A\) i \(B\) oddalonych od siebie o \(182\) km wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta jadący z miejscowości \(B\) do miejscowości \(A\) jedzie ze średnią prędkością mniejszą od \(25\) km/h. Rowerzysta jadący z miejscowości \(A\) do miejscowości \(B\) wyjeżdża o \(1\) godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o \(7\) km/h większą od średniej prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, że rowerzysta jadący z miejscowości \(A\) przebył do tego miejsca \(\frac{9}{13}\) całej drogi z \(A\) do \(B\). Z jakimi średnimi prędkościami jechali obaj rowerzyści?

**Prawidłowa odpowiedź:** \(v_1=7\) km/h, \(v_2=14\) km/h

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Oznaczmy prędkość rowerzysty jadącego z B do A przez \(v\) km/h.

Wtedy prędkość rowerzysty jadącego z A do B wynosi \(v + 7\) km/h.

## Analiza drogi do miejsca spotkania

Rowerzysta z A przebył \(\frac{9}{13}\) całej drogi, czyli:
$$s_A = \frac{9}{13} \cdot 182 = \frac{9 \cdot 182}{13} = \frac{1638}{13} = 126 \text{ km}$$

Rowerzysta z B przebył pozostałą część drogi:
$$s_B = 182 - 126 = 56 \text{ km}$$

## Ustalenie czasów jazdy

Oznaczmy przez \(t\) czas (w godzinach), który jechał rowerzysta z B do momentu spotkania.

Rowerzysta z A wyjeżdża o 1 godzinę wcześniej, więc jechał \(t + 1\) godzin.

## Układanie równań

Z zależności droga = prędkość · czas otrzymujemy:

Dla rowerzysty z A:
$$126 = (v + 7)(t + 1)$$

Dla rowerzysty z B:
$$56 = v \cdot t$$

## Rozwiązanie układu równań

Z drugiego równania:
$$t = \frac{56}{v}$$

Podstawiamy do pierwszego równania:
$$126 = (v + 7)\left(\frac{56}{v} + 1\right)$$

$$126 = (v + 7) \cdot \frac{56 + v}{v}$$

$$126v = (v + 7)(56 + v)$$

$$126v = 56v + v^2 + 392 + 7v$$

$$126v = v^2 + 63v + 392$$

$$0 = v^2 - 63v + 392$$

## Rozwiązanie równania kwadratowego

$$v^2 - 63v + 392 = 0$$

$$\Delta = 63^2 - 4 \cdot 1 \cdot 392 = 3969 - 1568 = 2401 = 49^2$$

$$v = \frac{63 \pm 49}{2}$$

$$v_1 = \frac{63 + 49}{2} = \frac{112}{2} = 56 \text{ km/h}$$

$$v_2 = \frac{63 - 49}{2} = \frac{14}{2} = 7 \text{ km/h}$$

## Sprawdzenie warunku

Warunek z treści zadania: prędkość rowerzysty z B jest mniejsza od 25 km/h.

- Dla \(v = 56\) km/h: warunek NIE jest spełniony (56 > 25)
- Dla \(v = 7\) km/h: warunek jest spełniony (7 < 25) ✓

## Weryfikacja rozwiązania

Dla \(v = 7\) km/h:
- Prędkość rowerzysty z B: \(v = 7\) km/h
- Prędkość rowerzysty z A: \(v + 7 = 14\) km/h
- Czas jazdy rowerzysty z B: \(t = \frac{56}{7} = 8\) h
- Czas jazdy rowerzysty z A: \(t + 1 = 9\) h
- Droga rowerzysty z A: \(14 \cdot 9 = 126\) km ✓
- Droga rowerzysty z B: \(7 \cdot 8 = 56\) km ✓

**Odpowiedź:** Rowerzysta jadący z miejscowości B jechał ze średnią prędkością **7 km/h**, a rowerzysta jadący z miejscowości A jechał ze średnią prędkością **14 km/h**.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/statystyka
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-pp-treningowe