---
route: /task/cke-pp-treningowe-95
title: Zadanie cke-pp-treningowe-95
source: CKE PP treningowe
category: Liczby rzeczywiste
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-pp-treningowe-95

**Źródło:** CKE PP treningowe
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr wybranych ze zbioru \(\{0,1,2,3\}\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(10392\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Trzeba znaleźć sumę wszystkich liczb trzycyfrowych, których cyfry należą do zbioru \(\{0,1,2,3\}\).

## Krok 1: Ustalenie struktury liczby trzycyfrowej

Liczba trzycyfrowa ma postać \(\overline{abc}\), gdzie:
- \(a \in \{1,2,3\}\) (cyfra setek nie może być zerem)
- \(b \in \{0,1,2,3\}\) (cyfra dziesiątek)
- \(c \in \{0,1,2,3\}\) (cyfra jedności)

Wartość liczby: \(100a + 10b + c\)

## Krok 2: Zliczenie liczb

Liczba wszystkich liczb trzycyfrowych: \(3 \cdot 4 \cdot 4 = 48\)

## Krok 3: Obliczenie sumy cyfr setek

Dla ustalonego \(a\):
- Liczba kombinacji \((b,c)\): \(4 \cdot 4 = 16\)

Cyfra \(a=1\) występuje: 16 razy
Cyfra \(a=2\) występuje: 16 razy  
Cyfra \(a=3\) występuje: 16 razy

Suma wkładów cyfr setek:
$$100 \cdot (1 \cdot 16 + 2 \cdot 16 + 3 \cdot 16) = 100 \cdot 16 \cdot (1+2+3) = 100 \cdot 16 \cdot 6 = 9600$$

## Krok 4: Obliczenie sumy cyfr dziesiątek

Dla ustalonego \(b\):
- Liczba kombinacji \((a,c)\): \(3 \cdot 4 = 12\)

Każda cyfra \(b \in \{0,1,2,3\}\) występuje 12 razy na pozycji dziesiątek.

Suma wkładów cyfr dziesiątek:
$$10 \cdot (0 \cdot 12 + 1 \cdot 12 + 2 \cdot 12 + 3 \cdot 12) = 10 \cdot 12 \cdot (0+1+2+3) = 10 \cdot 12 \cdot 6 = 720$$

## Krok 5: Obliczenie sumy cyfr jedności

Dla ustalonego \(c\):
- Liczba kombinacji \((a,b)\): \(3 \cdot 4 = 12\)

Każda cyfra \(c \in \{0,1,2,3\}\) występuje 12 razy na pozycji jedności.

Suma wkładów cyfr jedności:
$$1 \cdot (0 \cdot 12 + 1 \cdot 12 + 2 \cdot 12 + 3 \cdot 12) = 12 \cdot (0+1+2+3) = 12 \cdot 6 = 72$$

## Krok 6: Suma całkowita

$$S = 9600 + 720 + 72 = 10392$$

**Odpowiedź: \(10392\)**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-pp-treningowe