---
route: /task/cke-pp-treningowe-94
title: Zadanie cke-pp-treningowe-94
source: CKE PP treningowe
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-pp-treningowe-94

**Źródło:** CKE PP treningowe
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Na boku \(BC\) trójkąta \(ABC\) wybrano punkt \(D\) tak, by \(|\sphericalangle CAD| = |\sphericalangle ABC|\). Odcinek \(AE\) jest dwusieczną kąta \(DAB\). Udowodnij, że \(|AC| = |CE|\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Oznaczmy:
- $$|\angle CAD| = |\angle ABC| = \beta$$
- $$|\angle DAB| = \alpha$$
- $$|\angle BAC| = \alpha + \beta$$

Ponieważ $$AE$$ jest dwusieczną kąta $$DAB$$, to:
$$|\angle DAE| = |\angle EAB| = \frac{\alpha}{2}$$

**Krok 1: Analiza kątów w trójkącie $$ABC$$**

W trójkącie $$ABC$$ suma kątów wynosi $$180°$$:
$$|\angle BAC| + |\angle ABC| + |\angle ACB| = 180°$$
$$(\alpha + \beta) + \beta + |\angle ACB| = 180°$$
$$|\angle ACB| = 180° - \alpha - 2\beta$$

**Krok 2: Analiza kątów w trójkącie $$ACD$$**

W trójkącie $$ACD$$:
$$|\angle CAD| + |\angle ACD| + |\angle ADC| = 180°$$
$$\beta + |\angle ACD| + |\angle ADC| = 180°$$

Ponieważ $$|\angle ACD| = |\angle ACB| = 180° - \alpha - 2\beta$$, mamy:
$$\beta + (180° - \alpha - 2\beta) + |\angle ADC| = 180°$$
$$|\angle ADC| = \alpha + \beta$$

**Krok 3: Kąt $$\angle ADB$$**

Kąty $$\angle ADC$$ i $$\angle ADB$$ są kątami przyległymi, więc:
$$|\angle ADB| = 180° - |\angle ADC| = 180° - (\alpha + \beta)$$

**Krok 4: Analiza kątów w trójkącie $$ABD$$**

W trójkącie $$ABD$$:
$$|\angle DAB| + |\angle ABD| + |\angle ADB| = 180°$$
$$\alpha + \beta + (180° - \alpha - \beta) = 180°$$ ✓

**Krok 5: Kąt $$\angle CAE$$**

$$|\angle CAE| = |\angle CAD| + |\angle DAE| = \beta + \frac{\alpha}{2}$$

**Krok 6: Analiza trójkąta $$ACE$$**

W trójkącie $$ACE$$:
$$|\angle CAE| + |\angle ACE| + |\angle AEC| = 180°$$
$$\left(\beta + \frac{\alpha}{2}\right) + (180° - \alpha - 2\beta) + |\angle AEC| = 180°$$
$$|\angle AEC| = \alpha + \beta - \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2} + \beta$$

**Krok 7: Wniosek**

Zauważamy, że:
$$|\angle CAE| = \beta + \frac{\alpha}{2} = |\angle AEC|$$

Jeśli dwa kąty w trójkącie są równe, to trójkąt jest równoramienny, a równe są boki leżące naprzeciwko równych kątów.

Ponieważ:
- kąt $$\angle CAE$$ leży naprzeciwko boku $$CE$$
- kąt $$\angle AEC$$ leży naprzeciwko boku $$AC$$

oraz $$|\angle CAE| = |\angle AEC|$$, to:
$$|AC| = |CE|$$

co było do udowodnienia.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-pp-treningowe