---
route: /task/cke-pp-treningowe-93
title: Zadanie cke-pp-treningowe-93
source: CKE PP treningowe
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-pp-treningowe-93

**Źródło:** CKE PP treningowe
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Czworokąty \(ABCD\) i \(APQR\) są kwadratami. Udowodnij, że \(|BP| = |DR|\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Wprowadza się układ współrzędnych z początkiem w punkcie \(A\).

## Ustalenie współrzędnych

Niech bok kwadratu \(ABCD\) ma długość \(a\). Umieszczam punkty kwadratu \(ABCD\):
- \(A = (0, 0)\)
- \(B = (a, 0)\)
- \(C = (a, a)\)
- \(D = (0, a)\)

## Współrzędne punktów kwadratu \(APQR\)

Kwadrat \(APQR\) ma wierzchołek \(A\) wspólny z kwadratem \(ABCD\). Niech bok tego kwadratu ma długość \(b\) i niech kwadrat jest obrócony o kąt \(\alpha\) względem osi \(OX\).

Wtedy:
- \(A = (0, 0)\)
- \(P = (b\cos\alpha, b\sin\alpha)\)
- \(Q = (b\cos\alpha - b\sin\alpha, b\sin\alpha + b\cos\alpha)\)
- \(R = (-b\sin\alpha, b\cos\alpha)\)

## Obliczenie długości \(|BP|\)

$$|BP|^2 = (b\cos\alpha - a)^2 + (b\sin\alpha - 0)^2$$

$$|BP|^2 = b^2\cos^2\alpha - 2ab\cos\alpha + a^2 + b^2\sin^2\alpha$$

$$|BP|^2 = b^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + a^2 - 2ab\cos\alpha$$

$$|BP|^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha$$

## Obliczenie długości \(|DR|\)

$$|DR|^2 = (-b\sin\alpha - 0)^2 + (b\cos\alpha - a)^2$$

$$|DR|^2 = b^2\sin^2\alpha + b^2\cos^2\alpha - 2ab\cos\alpha + a^2$$

$$|DR|^2 = b^2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + a^2 - 2ab\cos\alpha$$

$$|DR|^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha$$

## Wniosek

Ponieważ \(|BP|^2 = |DR|^2\) i obie długości są dodatnie, to:

$$|BP| = |DR|$$

co należało udowodnić. \(\square\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-pp-treningowe