---
route: /task/cke-pp-treningowe-92
title: Zadanie cke-pp-treningowe-92
source: CKE PP treningowe
category: Stereometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-pp-treningowe-92

**Źródło:** CKE PP treningowe
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu, a jego płaszczyzną podstawy.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-pp-treningowe-92.png]

Rozpatrzmy sześcian o krawędzi długości \(a\).

**Krok 2: Ustalenie układu współrzędnych**

Umieśćmy sześcian w układzie współrzędnych tak, aby jeden z wierzchołków znajdował się w punkcie \(O = (0, 0, 0)\), a krawędzie biegły wzdłuż osi współrzędnych.

Wierzchołki podstawy dolnej: \((0,0,0)\), \((a,0,0)\), \((a,a,0)\), \((0,a,0)\)

Wierzchołki podstawy górnej: \((0,0,a)\), \((a,0,a)\), \((a,a,a)\), \((0,a,a)\)

**Krok 3: Wyznaczenie przekątnej sześcianu**

Przekątna sześcianu łączy dwa przeciwległe wierzchołki, np. \(A = (0,0,0)\) i \(C = (a,a,a)\).

**Krok 4: Obliczenie długości przekątnej**

Długość przekątnej sześcianu:
$$d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$$

**Krok 5: Wyznaczenie przekątnej podstawy**

Przekątna podstawy (dolnej płaszczyzny \(z = 0\)) łączy punkty \((0,0,0)\) i \((a,a,0)\).

Jej długość:
$$d_p = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$$

**Krok 6: Trójkąt prostokątny**

Rozpatrzmy trójkąt utworzony przez:
- wierzchołek \(A = (0,0,0)\)
- wierzchołek \(B = (a,a,0)\) (koniec przekątnej podstawy)
- wierzchołek \(C = (a,a,a)\) (koniec przekątnej sześcianu)

W tym trójkącie:
- \(AB = a\sqrt{2}\) (przekątna podstawy)
- \(BC = a\) (krawędź pionowa)
- \(AC = a\sqrt{3}\) (przekątna sześcianu)

Kąt \(\alpha\) między przekątną sześcianu \(AC\) a płaszczyzną podstawy to kąt \(\angle BAC\).

**Krok 7: Obliczenie sinusa**

W trójkącie prostokątnym \(ABC\) (kąt prosty przy \(B\)):

$$\sin \alpha = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

**Odpowiedź:** $$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-pp-treningowe