---
route: /task/cke-pp-treningowe-90
title: Zadanie cke-pp-treningowe-90
source: CKE PP treningowe
category: Stereometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-pp-treningowe-90

**Źródło:** CKE PP treningowe
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Przekątna sześcianu ma długość \(9\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(162\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-pp-treningowe-90.png]

Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez \(a\).

**Krok 2: Znajdźmy związek między przekątną sześcianu a jego krawędzią**

Przekątna sześcianu to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki (przechodzący przez wnętrze sześcianu).

Aby znaleźć długość przekątnej, rozważmy:
- najpierw przekątną podstawy (kwadratu o boku \(a\))
- następnie trójkąt prostokątny utworzony przez wysokość sześcianu, przekątną podstawy i przekątną sześcianu

**Krok 3: Obliczmy długość przekątnej podstawy**

Podstawa to kwadrat o boku \(a\), więc jego przekątna ma długość:
$$d_{\text{podst}} = a\sqrt{2}$$

**Krok 4: Wyznaczmy przekątną sześcianu**

Rozpatrzmy trójkąt prostokątny, w którym:
- jedna przyprostokątna to wysokość sześcianu: \(a\)
- druga przyprostokątna to przekątna podstawy: \(a\sqrt{2}\)
- przeciwprostokątna to przekątna sześcianu: \(d\)

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$d^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2$$
$$d^2 = a^2 + 2a^2$$
$$d^2 = 3a^2$$
$$d = a\sqrt{3}$$

**Krok 5: Obliczmy długość krawędzi**

Wiemy, że \(d = 9\), zatem:
$$a\sqrt{3} = 9$$
$$a = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$$

**Krok 6: Obliczmy pole powierzchni całkowitej**

Sześcian ma 6 ścian, każda o polu \(a^2\):
$$P_c = 6a^2$$
$$P_c = 6 \cdot (3\sqrt{3})^2$$
$$P_c = 6 \cdot 9 \cdot 3$$
$$P_c = 6 \cdot 27$$
$$P_c = 162$$

**Odpowiedź:** Pole powierzchni całkowitej sześcianu wynosi \(162\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-pp-treningowe