---
route: /task/cke-pp-treningowe-76
title: Zadanie cke-pp-treningowe-76
source: CKE PP treningowe
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-pp-treningowe-76

**Źródło:** CKE PP treningowe
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wyrazami ciągu arytmetycznego \((a_n)\) są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez \(5\) dają resztę \(2\). Ponadto \(a_3 = 12\). Oblicz \(a_{15}\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(a_{15}=72\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Określmy warunki zadania:
- Wyrazy ciągu to liczby naturalne dające resztę 2 przy dzieleniu przez 5
- Ciąg jest arytmetyczny
- \(a_3 = 12\)

**Krok 1: Znajdźmy postać ogólną wyrazów ciągu**

Liczby naturalne dające resztę 2 przy dzieleniu przez 5 to:
$$2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, ...$$

Każda taka liczba ma postać \(a_n = 5k + 2\), gdzie \(k \in \{0, 1, 2, 3, ...\}\)

**Krok 2: Sprawdźmy różnicę ciągu**

Kolejne wyrazy różnią się o 5:
$$7 - 2 = 5, \quad 12 - 7 = 5, \quad 17 - 12 = 5$$

Zatem różnica ciągu arytmetycznego wynosi \(r = 5\)

**Krok 3: Znajdźmy pierwszy wyraz**

Korzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$$

Dla \(n = 3\):
$$a_3 = a_1 + 2r$$
$$12 = a_1 + 2 \cdot 5$$
$$12 = a_1 + 10$$
$$a_1 = 2$$

**Krok 4: Obliczmy \(a_{15}\)**

$$a_{15} = a_1 + (15-1) \cdot r$$
$$a_{15} = 2 + 14 \cdot 5$$
$$a_{15} = 2 + 70$$
$$a_{15} = 72$$

**Sprawdzenie:** \(72 = 5 \cdot 14 + 2\), więc rzeczywiście daje resztę 2 przy dzieleniu przez 5 ✓

**Odpowiedź:** \(a_{15} = 72\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-pp-treningowe