---
route: /task/cke-pp-treningowe-67
title: Zadanie cke-pp-treningowe-67
source: CKE PP treningowe
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-pp-treningowe-67

**Źródło:** CKE PP treningowe
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Punkt \(D\) leży na boku BC trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Odcinek \(AD \) dzieli trójkąt \(ABC\) na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że \(|AB| = |AD| = |CD|\). Oblicz miary kątów trójkąta \(ABC\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(72^\circ \), \(72^\circ \), \(36^\circ \)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Oznaczmy miary kątów trójkąta \(ABC\):
- \(\alpha = |\angle CAB| = |\angle CBA|\) (kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego)
- \(\gamma = |\angle ACB|\) (kąt przy wierzchołku)

**Krok 1: Suma kątów w trójkącie ABC**

$$2\alpha + \gamma = 180°$$

**Krok 2: Analiza trójkąta ABD**

Ponieważ \(|AB| = |AD|\), trójkąt \(ABD\) jest równoramienny.

Kąty przy podstawie \(BD\):
$$|\angle ABD| = |\angle ADB| = \alpha$$

Kąt przy wierzchołku \(A\):
$$|\angle BAD| = 180° - 2\alpha$$

**Krok 3: Analiza trójkąta ACD**

Ponieważ \(|AD| = |CD|\), trójkąt \(ACD\) jest równoramienny.

Kąty przy podstawie \(AC\):
$$|\angle CAD| = |\angle ACD| = \gamma$$

Kąt przy wierzchołku \(D\):
$$|\angle ADC| = 180° - 2\gamma$$

**Krok 4: Kąt przy wierzchołku A**

Kąt \(\angle BAC\) można rozłożyć na dwa kąty:
$$\alpha = |\angle BAD| + |\angle CAD|$$
$$\alpha = (180° - 2\alpha) + \gamma$$

**Krok 5: Rozwiązanie układu równań**

Z równania z Kroku 4:
$$\alpha = 180° - 2\alpha + \gamma$$
$$3\alpha = 180° + \gamma$$
$$\gamma = 3\alpha - 180°$$

Podstawiamy do równania z Kroku 1:
$$2\alpha + (3\alpha - 180°) = 180°$$
$$5\alpha = 360°$$
$$\alpha = 72°$$

Stąd:
$$\gamma = 3 \cdot 72° - 180° = 216° - 180° = 36°$$

**Sprawdzenie:**
- Suma kątów: \(72° + 72° + 36° = 180°\) ✓
- \(|\angle BAD| = 180° - 2 \cdot 72° = 36°\) ✓
- \(|\angle CAD| = 36°\), więc \(\alpha = 36° + 36° = 72°\) ✓

**Odpowiedź:**

Miary kątów trójkąta \(ABC\) to: \(\boxed{72°, 72°, 36°}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-pp-treningowe