---
route: /task/cke-pp-treningowe-66
title: Zadanie cke-pp-treningowe-66
source: CKE PP treningowe
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-pp-treningowe-66

**Źródło:** CKE PP treningowe
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{1}{4}\). Oblicz \(3+2\operatorname{tg}^2\alpha \) .

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{47}{15}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-pp-treningowe-66.png]

Dane: \(\alpha\) jest kątem ostrym, \(\sin \alpha = \frac{1}{4}\)

Szukane: \(3 + 2\operatorname{tg}^2\alpha\)

**Krok 2: Wyznaczenie \(\cos \alpha\)**

Z tożsamości trygonometrycznej:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Podstawiamy \(\sin \alpha = \frac{1}{4}\):
$$\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\frac{1}{16} + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$$

Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym, to \(\cos \alpha > 0\), więc:
$$\cos \alpha = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$$

**Krok 3: Wyznaczenie \(\operatorname{tg}^2 \alpha\)**

Ze wzoru:
$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$

$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{15}}$$

Zatem:
$$\operatorname{tg}^2 \alpha = \left(\frac{1}{\sqrt{15}}\right)^2 = \frac{1}{15}$$

**Krok 4: Obliczenie wartości wyrażenia**

$$3 + 2\operatorname{tg}^2\alpha = 3 + 2 \cdot \frac{1}{15}$$

$$= 3 + \frac{2}{15}$$

$$= \frac{45}{15} + \frac{2}{15}$$

$$= \frac{47}{15}$$

**Odpowiedź:** \(\frac{47}{15}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-pp-treningowe