---
route: /task/cke-pp-treningowe-65
title: Zadanie cke-pp-treningowe-65
source: CKE PP treningowe
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-pp-treningowe-65

**Źródło:** CKE PP treningowe
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości \(2\) i \(4\), jeden z kątów ostrych ma miarę \(\alpha \). Oblicz \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha \) .

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{2}{5}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości \(2\) i \(4\). Obliczamy \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha\).

**Krok 1: Obliczenie przeciwprostokątnej**

$$c = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

**Krok 2: Wyznaczenie funkcji trygonometrycznych**

Niech \(\alpha\) będzie kątem naprzeciwko boku o długości \(2\) (możemy wybrać dowolny kąt ostry - wynik będzie taki sam).

$$\sin \alpha = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$
$$\cos \alpha = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$$

**Krok 3: Obliczenie iloczynu**

$$\sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{5}$$

**Uwaga:** Gdybyśmy wybrali kąt naprzeciwko boku \(4\), to \(\sin \alpha = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\) i \(\cos \alpha = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\), a iloczyn \(\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{5}\) - wynik jest taki sam.

**Odpowiedź:** \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{2}{5}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-pp-treningowe