---
route: /task/cke-pp-treningowe-32
title: Zadanie cke-pp-treningowe-32
source: CKE PP treningowe
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie cke-pp-treningowe-32

**Źródło:** CKE PP treningowe
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Różnica miar kątów wewnętrznych przy ramieniu trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem, jest równa \( 40^\circ \). Miara kąta przy krótszej podstawie jest równa.

## Odpowiedzi

- **A.** \(120^\circ \)
- **B.** \(110^\circ \)
- **C.** \(80^\circ \)
- **D.** \(70^\circ \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-pp-treningowe-32.png]

Oznaczmy miary kątów przy ramionach trapezu równoramiennego.

**Krok 2: Własności trapezu równoramiennego**

W trapezie równoramiennym:
- Kąty przy tej samej podstawie są równe
- Suma kątów przy ramieniu wynosi \(180^\circ\) (bo są to kąty jednostronne przy podstawach równoległych)

**Krok 3: Oznaczenie kątów**

Niech:
- \(\alpha\) = miara kąta przy dłuższej podstawie
- \(\beta\) = miara kąta przy krótszej podstawie

Z własności trapezu równoramiennego przy tym samym ramieniu:
$$\alpha + \beta = 180^\circ$$

**Krok 4: Wykorzystanie warunku o różnicy kątów**

Z treści zadania różnica miar kątów przy ramieniu wynosi \(40^\circ\).

Ponieważ trapez nie jest równoległobokiem, kąty przy ramieniu są różne. W trapezie kąt przy dłuższej podstawie jest ostry, a przy krótszej podstawie jest rozwarty, czyli \(\beta > \alpha\).

Zatem:
$$\beta - \alpha = 40^\circ$$

**Krok 5: Rozwiązanie układu równań**

Mamy układ:
$$\begin{cases}
\alpha + \beta = 180^\circ \\
\beta - \alpha = 40^\circ
\end{cases}$$

Dodając równania stronami:
$$2\beta = 220^\circ$$
$$\beta = 110^\circ$$

**Krok 6: Sprawdzenie**

Podstawiając do pierwszego równania:
$$\alpha = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$

Sprawdzenie różnicy: \(110^\circ - 70^\circ = 40^\circ\) ✓

Kąt przy krótszej podstawie wynosi \(110^\circ\).

**Odpowiedź: B**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-pp-treningowe